组合 Combinations 的动态规划解法

[Shellbye]

在写上一篇博客（ #43 ）的时候，想要用一种暴力的解法去完成，但是遇到一个问题，就是求一个数组里面所有数的组合，于是就先来看组合了。

题目

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:

输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

动态规划解法

动态规划解法的关键，依然是找到递推公式，也就是拆分子问题的方式，在本题中，我们可以利用组合的计算公式

C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)

这个公式的物理意义：n个数中选k个，可以分为“包含n这个数字（剩下的n-1个中再取剩下的k-1）”和“不包含n这个数字（剩下的n-1个中全完全部k个）”两类，分别表示为C(n-1,k-1)和`C(n-1,k)·。有了上面的公式，那么代码也相对简单了许多

class Solution {
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        if (n == k) {
            List<Integer> row = new ArrayList<>();
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                row.add(i); // select all
            }
            List<List<Integer>> ret = new LinkedList<>();
            ret.add(row);
            return ret;
        }
        if (k == 0) {
            List<Integer> row = new ArrayList<>();
            List<List<Integer>> ret = new LinkedList<>();
            ret.add(row);
            return ret;
        }

        List<List<Integer>> ret = this.combine(n - 1, k - 1);
        for (List<Integer> list : ret) {
            list.add(n);
        }
        ret.addAll(this.combine(n - 1, k));
        return ret;
    }
}

这里需要稍微说一下n == k内部的for循环里面，是把这次的组合的结果存储了起来，我刚开始看的时候，以为应该是row.add(1);，理解其实有误，这里并不是求有几种组合方法，而是要展示具体的组合结果。
还有就是最后一个循环内部的list.add(n);，因为this.combine(n - 1, k - 1);里面的所有组合都没有n，这里需要都给补上，这个公式C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)只是保证了数量上的相等，所以这里需要单独添加n；但是在this.combine(n - 1, k)中，因为本身就没有包含n，所以就不需要额外的添加工作了。