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package copypasta
import (
"container/heap"
"math"
"math/bits"
"slices"
"sort"
"strconv"
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/* 动态规划（Dynamic Programming，DP）
题单：入门/背包/状态机/划分/区间/状压/数位/数据结构优化/树形/博弈/概率期望
https://leetcode.cn/circle/discuss/tXLS3i/
入门视频
https://www.bilibili.com/video/BV1Xj411K7oF/
如何用记忆化搜索打印具体方案
https://leetcode.cn/problems/shortest-common-supersequence/solution/cong-di-gui-dao-di-tui-jiao-ni-yi-bu-bu-auy8z/
前缀/后缀之间的转移，例如从 f[i-1] 转移到 f[i]，或者从 f[j] 转移到 f[i]
LC70 爬楼梯 https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/
- 有花费 LC746 https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/
- https://atcoder.jp/contests/dp/tasks/dp_a
- https://atcoder.jp/contests/dp/tasks/dp_b
- 有障碍物 https://atcoder.jp/contests/abc129/tasks/abc129_c
LC198 打家劫舍 https://leetcode.cn/problems/house-robber/
- 值域打家劫舍 LC740 https://leetcode.cn/problems/delete-and-earn/
- 分组+值域打家劫舍 https://atcoder.jp/contests/abc403/tasks/abc403_d
- 类似思路的题目 https://leetcode.cn/problems/the-number-of-beautiful-subsets/
- 恰好选 floor(n/2) 个 https://atcoder.jp/contests/abc162/tasks/abc162_f
- 矩阵打家劫舍 https://codeforces.com/problemset/problem/1195/C
- 环形 LC213 https://leetcode.cn/problems/house-robber-ii/
- 环形 https://atcoder.jp/contests/abc251/tasks/abc251_e
LC2369 https://leetcode.cn/problems/check-if-there-is-a-valid-partition-for-the-array/ 1780
- 变形：改成环形数组要怎么做
- 相似题目 https://codeforces.com/problemset/problem/1624/E 2000
https://codeforces.com/problemset/problem/1547/E 1500
https://codeforces.com/problemset/problem/1881/E 1500
https://codeforces.com/problemset/problem/1875/D 1600
https://codeforces.com/problemset/problem/30/C 1800
https://codeforces.com/problemset/problem/1627/E 2200 刷表法 双指针
https://codeforces.com/problemset/problem/1739/E 2400
另见「最长递增子序列」
双序列问题，一般定义 f[i][j] 表示对子问题 (s1[:i],s2[:j]) 的求解结果
见下面的「最长公共子序列」，包含大量扩展题目
https://codeforces.com/problemset/problem/2050/E 1500
多维 / 额外状态
LC1223 https://leetcode.cn/problems/dice-roll-simulation/ 2008
LC2919 https://leetcode.cn/problems/minimum-increment-operations-to-make-array-beautiful/ 2031 状态设计的好题
LC2209 https://leetcode.cn/problems/minimum-white-tiles-after-covering-with-carpets/ 2106
LC956 https://leetcode.cn/problems/tallest-billboard/ 2381
LC920 https://leetcode.cn/problems/number-of-music-playlists/ 2400
LC1531 看起来是区间 DP，仔细分析后是线性 DP https://leetcode.cn/problems/string-compression-ii/ 2576
LC2464 https://leetcode.cn/problems/minimum-subarrays-in-a-valid-split/ 枚举选哪个
https://codeforces.com/problemset/problem/2027/D1 1700
https://codeforces.com/contest/404/problem/D 1900
https://codeforces.com/problemset/problem/1920/E 2000
https://codeforces.com/problemset/problem/2027/D2 2200 在 DP 数组上滑窗
https://codeforces.com/problemset/problem/2045/H 2200
https://codeforces.com/problemset/problem/6/D 2600
https://atcoder.jp/contests/dp/tasks/dp_t 状态设计
https://www.luogu.com.cn/problem/P2258
输出具体方案
做这一道题就够了 https://codeforces.com/problemset/problem/56/D 2100
从 X 操作到 Y（部分题目也可以用 BFS）
+1 -1 /2 [397. 整数替换](https://leetcode.cn/problems/integer-replacement/)
-1 +1 /5 /11 [2998. 使 X 和 Y 相等的最少操作次数](https://leetcode.cn/problems/minimum-number-of-operations-to-make-x-and-y-equal/) 1795
+a[i] -a[i] ^a[i] [2059. 转化数字的最小运算数](https://leetcode.cn/problems/minimum-operations-to-convert-number/) 1850
-1 *2 [991. 坏了的计算器](https://leetcode.cn/problems/broken-calculator/) 1909
/2 /3 [1553. 吃掉 N 个橘子的最少天数](https://leetcode.cn/problems/minimum-number-of-days-to-eat-n-oranges/) 2048
-1 /k https://codeforces.com/problemset/problem/940/B 1400
[LCP 09. 最小跳跃次数](https://leetcode.cn/problems/zui-xiao-tiao-yue-ci-shu/)
[LCP 20. 快速公交](https://leetcode.cn/problems/meChtZ/)
*5 /6 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/71512/D
预处理
LC2638 https://leetcode.cn/problems/count-the-number-of-k-free-subsets/
题单 https://www.luogu.com.cn/training/83815#problems
https://atcoder.jp/contests/abc289/tasks/abc289_d 跳台阶+禁入点
https://atcoder.jp/contests/abc248/tasks/abc248_c 入门计数 DP
https://atcoder.jp/contests/abc281/tasks/abc281_d
https://codeforces.com/contest/1525/problem/D 选或不选 [1800·hot10]
https://codeforces.com/problemset/problem/176/B
https://codeforces.com/problemset/problem/1324/E
https://codeforces.com/problemset/problem/505/C
https://atcoder.jp/contests/abc267/tasks/abc267_d
https://codeforces.com/problemset/problem/9/D 由 n 个值互不相同的点组成的高度不小于 h 的 BST 有多少个
https://codeforces.com/problemset/problem/38/E
https://codeforces.com/problemset/problem/358/D 好题：涉及到相邻状态先后关系的 DP（喂兔子）
https://codeforces.com/problemset/problem/446/A
https://codeforces.com/problemset/problem/603/A
https://codeforces.com/problemset/problem/811/C 处理区间元素不能在区间外面的技巧 https://codeforces.com/contest/811/submission/174568255
https://codeforces.com/problemset/problem/1120/C
https://codeforces.com/problemset/problem/1163/D 与 KMP 结合
https://codeforces.com/problemset/problem/1168/C
https://codeforces.com/problemset/problem/1542/D
https://codeforces.com/problemset/problem/1845/E
https://www.luogu.com.cn/problem/T576294?contestId=224129
不相交区间 DP
https://codeforces.com/problemset/problem/1801/C
排列型/插入型
LC629 https://leetcode.cn/problems/k-inverse-pairs-array/ https://www.luogu.com.cn/problem/P2513
https://www.lanqiao.cn/problems/240/learning/
https://atcoder.jp/contests/abc282/tasks/abc282_g
介值定理
https://codeforces.com/contest/1695/problem/C
https://codeforces.com/contest/2043/problem/C
网格路径问题 网格图 DP
技巧：对于求方案数的题目，可以初始化 f[0][1] = 1，从而避免单独讨论左上角 f[1][1] 的计算
- [63. 不同路径 II](https://leetcode.cn/problems/unique-paths-ii/)
- https://atcoder.jp/contests/dp/tasks/dp_h
- [64. 最小路径和](https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/)
- 变形：连续性 & 上下界思想 https://codeforces.com/contest/1695/problem/C
- https://atcoder.jp/contests/arc137/tasks/arc137_b 也用到了这个思想
- [120. 三角形最小路径和](https://leetcode.cn/problems/triangle/)
- https://www.luogu.com.cn/problem/P1216
- 额外状态 https://www.luogu.com.cn/problem/P1544
- [741. 摘樱桃](https://leetcode.cn/problems/cherry-pickup/)
- https://codeforces.com/problemset/problem/213/C 2000
- https://www.luogu.com.cn/problem/P1004 [NOIP2000 提高组] 方格取数
- https://atcoder.jp/contests/abc320/tasks/abc320_f 2042
- [1463. 摘樱桃 II](https://leetcode.cn/problems/cherry-pickup-ii/) 1957
- 回文串 https://codeforces.com/problemset/problem/570/E
每行至多选三个 https://atcoder.jp/contests/abc175/tasks/abc175_e
https://atcoder.jp/contests/abc147/tasks/abc147_e 1713
图 DP
https://codeforces.com/problemset/problem/346/D 2600
思考过程：
1. 把原问题重新复述一遍，例如「从前 n 个数中选择若干个数，这些数的和为 m 的方案数」。
2. 根据题意，尝试「缩小」问题的规模，我们可以怎样缩小？
- 这里有两个变量 n 和 m，有什么方法可以把它们缩小？
3. 尝试「原子」操作（考虑其中「一个」数选或者不选，例如第 n 个数）：
- 不选第 n 个数，问题变为「从前 n-1 个数中选择若干个数，这些数的和为 m 的方案数」。
- 选第 n 个数，问题变为「从前 n-1 个数中选择若干个数，这些数的和为 m-a[n] 的方案数」。
- 原问题可以不重不漏地分解成这两种情况。
- 根据加法原理，原问题为这两种方案的和。
4. 这可以用记忆化搜索写。终点是什么？
- n=0。（这里数组下标是从 1 开始的）
5. 如果用递推来思考，要怎么写？空间能否压缩？
- 自底向上思考记忆化搜索的过程。
6.（进阶）如果复杂度过高，如何根据状态转移方程来优化？
7.（进阶）状态不好确定时，尝试转化问题模型、逆序思考、增加维度等等。（试试下面的题目）
常规题目
预处理 https://codeforces.com/contest/1932/problem/F
记忆化搜索
- [1387. 将整数按权重排序](https://leetcode.cn/problems/sort-integers-by-the-power-value/) 1507
如何设计状态
https://codeforces.com/problemset/problem/1461/B 1400
https://codeforces.com/problemset/problem/553/A 1500
https://codeforces.com/problemset/problem/1286/A 1800
https://codeforces.com/problemset/problem/1987/D 1800
https://codeforces.com/problemset/problem/14/E 1900
https://codeforces.com/problemset/problem/452/D 1900 题解 https://www.luogu.com.cn/blog/endlesscheng/solution-cf452d
https://codeforces.com/problemset/problem/687/C 1900
https://codeforces.com/problemset/problem/1012/C 1900
https://codeforces.com/problemset/problem/360/B 2000
https://codeforces.com/problemset/problem/461/B 2000
todo https://codeforces.com/problemset/problem/571/B 2000
https://codeforces.com/problemset/problem/1408/D 2000
https://codeforces.com/problemset/problem/1783/D 2000 推公式
https://codeforces.com/problemset/problem/1025/D 2100
https://codeforces.com/problemset/problem/1027/E 2100
https://codeforces.com/problemset/problem/1579/G 2200
https://codeforces.com/problemset/problem/1927/G 2300
todo https://codeforces.com/problemset/problem/441/E 2400 考虑 x+i 的尾零个数
https://atcoder.jp/contests/arc115/tasks/arc115_e 容斥
- https://codeforces.com/contest/1591/problem/F
todo https://codeforces.com/problemset/problem/744/C 2400
https://codeforces.com/problemset/problem/1348/E 2400 做到 O(nk) todo 需要复习
https://codeforces.com/problemset/problem/840/C 2500
https://atcoder.jp/contests/abc237/tasks/abc237_f
https://atcoder.jp/contests/abc232/tasks/abc232_e
https://atcoder.jp/contests/arc097/tasks/arc097_c 混合逆序对
https://atcoder.jp/contests/arc116/tasks/arc116_d 寻找子问题
https://atcoder.jp/contests/arc107/tasks/arc107_d 2099=CF2299 状态设计 todo 容斥做法
todo https://atcoder.jp/contests/abc200/tasks/abc200_e
SEERC05，紫书例题 9-3，UVa 1347 https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=446&page=show_problem&problem=4093
LC2919 https://leetcode.cn/problems/minimum-increment-operations-to-make-array-beautiful/ 2031
LC3193 https://leetcode.cn/problems/count-the-number-of-inversions/ 利用排列的性质
LC956 https://leetcode.cn/problems/tallest-billboard/ 2381
LC1388 https://leetcode.cn/problems/pizza-with-3n-slices/ 2410
LC903 DI 序列的有效排列 https://leetcode.cn/problems/valid-permutations-for-di-sequence/ 2433
LC2638 https://leetcode.cn/problems/count-the-number-of-k-free-subsets/
https://www.luogu.com.cn/problem/P9688?contestId=133572
《挑战》pp.62-64 多重部分和问题
如何消除后效性（通过巧妙地设计状态/发现性质）
LC2896 执行操作使两个字符串相等 https://leetcode.cn/problems/apply-operations-to-make-two-strings-equal/
LC312 戳气球 https://leetcode.cn/problems/burst-balloons/
LC546 消消乐 https://leetcode.cn/problems/remove-boxes/ https://leetcode.com/contest/leetcode-weekly-contest-25
UVa1625 合并序列 最小化所有元素第一次和最后一次出现的位置差的和 https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=825&page=show_problem&problem=4500
涉及到相邻状态先后关系（喂兔子）https://codeforces.com/problemset/problem/358/D
状态优化
LC935 减少状态个数 https://leetcode.cn/problems/knight-dialer/
妙！https://atcoder.jp/contests/abc243/tasks/abc243_g
输出方案
LC1092 https://leetcode.cn/problems/shortest-common-supersequence/
- 题解：https://leetcode.cn/problems/shortest-common-supersequence/solution/cong-di-gui-dao-di-tui-jiao-ni-yi-bu-bu-auy8z/
LC2212 https://leetcode.cn/problems/maximum-points-in-an-archery-competition/
值域 DP
常见于递增子序列相关的题目
LC3041 https://leetcode.cn/problems/maximize-consecutive-elements-in-an-array-after-modification/
https://codeforces.com/problemset/problem/1582/F1
决策单调性
todo 决策单调性优化总结 https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/dp-di-jue-ce-dan-diao-xing-you-hua-zong-jie
https://codeforces.com/problemset/problem/229/D
增量法
见 common.go
思维转换
谁来当 DP 对象 LC1434 https://leetcode.cn/problems/number-of-ways-to-wear-different-hats-to-each-other/
扔蛋问题 LC887 https://leetcode.cn/problems/super-egg-drop/ https://www.bilibili.com/video/BV1KE41137PK
LC920* https://leetcode.cn/problems/number-of-music-playlists/ 注：官方题解给出了一种生成函数的做法
状态优化 https://codeforces.com/problemset/problem/838/E
「排序」题的转换 https://codeforces.com/problemset/problem/1223/D
https://codeforces.com/problemset/problem/1542/D
https://codeforces.com/problemset/problem/520/E
https://codeforces.com/problemset/problem/883/I
路径计数+推箱子 https://codeforces.com/problemset/problem/1225/E
找关键元素+状态机DP https://codeforces.com/problemset/problem/623/B
https://codeforces.com/problemset/problem/1624/E
贪心+DP
https://leetcode.cn/problems/minimum-time-to-make-array-sum-at-most-x/
https://codeforces.com/problemset/problem/1799/F 2700
NOTE: 无后效性是指当前的决策只与过去的结果有关，而与过去的决策无关
NOTE: 若状态转移不构成 DAG，请尝试建图+BFS，见：
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/6218/B
https://codeforces.com/problemset/problem/283/B 活用 012 染色
https://codeforces.com/problemset/problem/1272/F
- 也可以在记忆化搜索的过程中，提前设置 memo 的值，来避免陷入死循环 https://codeforces.com/problemset/submission/1272/208121980
NOTE: 递归套递归打印方案 https://leetcode.cn/problems/shortest-common-supersequence/solutions/2194615/cong-di-gui-dao-di-tui-jiao-ni-yi-bu-bu-auy8z/
NOTE: 若使用滚动数组，注意复用时可能要初始化
NOTE:（区间 DP）正向计算不易时，试着反向计算
TIPS: 若转移是若干相邻项之和，可以考虑 f(p) - f(p-1) 的值，用滑动窗口来维护区间和，从而优化转移
例题 LC837 https://leetcode.cn/problems/new-21-game/
递归打印路径：https://codeforces.com/problemset/problem/2/B
需要补充额外的状态 https://codeforces.com/problemset/problem/682/D
todo Non-trivial DP Tricks and Techniques https://codeforces.com/blog/entry/47764
交替 DP
https://codeforces.com/problemset/problem/1479/B2
思路二 https://www.luogu.com.cn/blog/wsyhb/post-ti-xie-cf1479b2-painting-the-array-ii
计数 DP
另见 math_comb.go 中的「一些组合问题」
入门计数 DP https://atcoder.jp/contests/abc248/tasks/abc248_c
入门计数 DP LC1079 https://leetcode.cn/problems/letter-tile-possibilities/
- 相似技巧 LC1681 https://leetcode.cn/problems/minimum-incompatibility/discussion/comments/2051770
https://codeforces.com/problemset/problem/414/B 1400 刷表法
https://codeforces.com/problemset/problem/1794/D 1900
https://codeforces.com/problemset/problem/1767/C 2100 带约束的计数 DP
https://codeforces.com/problemset/problem/2060/F 2200
https://codeforces.com/problemset/problem/626/F 2400 转换
https://codeforces.com/problemset/problem/1237/F 2600
https://www.luogu.com.cn/problem/P5664 状态设计
todo https://atcoder.jp/contests/abc234/tasks/abc234_f
多重组合
- 见「多重背包 - 求方案数 - 同余前缀和优化」
多重排列
- f[i][j] 表示前 i 类数字组成长为 j 的排列个数
- f[i][j] = ∑f[i-1][k]*C(j,k), 0<=k<=min(j,cnt[i])
- 边界 f[0][0] = 1
贪心优化 DP
https://codeforces.com/problemset/problem/864/E
双指针优化 DP
https://codeforces.com/problemset/problem/883/I
https://training.olinfo.it/#/task/preoii_yutaka/statement
我的视频讲解：
https://www.bilibili.com/video/BV1Xj411K7oF 从记忆化搜索到递推
https://www.bilibili.com/video/BV16Y411v7Y6 背包问题
https://www.bilibili.com/video/BV1TM4y1o7ug LCS
https://www.bilibili.com/video/BV1ub411Q7sB LIS
https://www.bilibili.com/video/BV1ho4y1W7QK 状态机 DP
https://www.bilibili.com/video/BV1Gs4y1E7EU 区间 DP
https://www.bilibili.com/video/BV17o4y187h1 树形 DP
https://www.bilibili.com/video/BV1vu4y1f7dn 树形 DP
https://www.bilibili.com/video/BV1oF411U7qL 树形 DP
https://www.bilibili.com/video/BV1gf4y1i78H 动态规划的套路 by wisdompeak
https://www.bilibili.com/video/av70148899 DP 入门，01 背包，完全背包，多重背包
https://www.bilibili.com/video/av77393700 LCS LIS
https://www.bilibili.com/video/av83939419 区间 DP
https://www.bilibili.com/video/av93356551 状态压缩 DP
https://www.bilibili.com/video/av98090640 树形 DP
https://www.bilibili.com/video/av85636122 动态规划 · 零 - Introduction
https://www.bilibili.com/video/av86983419 动态规划 · 一 - 序列型
https://www.bilibili.com/video/av89052674 动态规划 · 二 - 坐标、双序列、划分 & 状态压缩
套题/总结：
推荐 AtCoder 上的经典 DP 场 https://atcoder.jp/contests/dp
题解 https://www.cnblogs.com/shanxieng/p/10232228.html
https://codeforces.com/blog/entry/92170
https://www.hamayanhamayan.com/entry/2019/01/12/163853
讨论 https://codeforces.com/blog/entry/64250
《挑战程序设计竞赛》上的练习题（均为 POJ）
2.3 节
3176 https://www.luogu.com.cn/problem/P1216 数字三角形
2229 https://www.luogu.com.cn/problem/P6065 将 n 分拆为若干个 2 的次幂的和的方法数 https://oeis.org/A018819
2385 https://www.luogu.com.cn/problem/P2690 f[i分钟][j移动次数] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-1]) + 当前分钟是否有苹果落在 j 次移动后的位置 最后答案为 max{f[n-1]}
3616 https://www.luogu.com.cn/problem/P2889 DAG 最长路
3280 https://www.luogu.com.cn/problem/P2890 增删取 min，跑区间 DP
1742 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2844 多重背包
3046 http://poj.org/problem?id=3046 todo
3181 https://www.luogu.com.cn/problem/P6205 完全背包
1065 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1051 n 轮 LIS
1631 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1950 转换成 LIS
3666 https://www.luogu.com.cn/problem/P2893
https://codeforces.com/problemset/problem/13/C
https://codeforces.com/problemset/problem/713/C
https://www.luogu.com.cn/problem/P4597 加强版
2392 https://www.luogu.com.cn/problem/P6771 多重背包，按高度限制排序。高度既是价值也是体积
2184 https://www.luogu.com.cn/problem/P2340 把 IQ 看成体积，EQ 看成价值，注意把负数偏移到非负数，以及负数的转移写法
todo 3.4 节
2686 https://www.luogu.com.cn/problem/SP1700
1769 https://www.luogu.com.cn/problem/SP90 https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1322
2441
3254 https://www.luogu.com.cn/problem/P1879
2836
1795 https://www.luogu.com.cn/problem/SP1776
3411 https://www.luogu.com.cn/problem/SP3953
3420
3735
3171 https://www.luogu.com.cn/problem/P4644 见 graph.dijkstraShortestPath
CSES DP section editorial https://codeforces.com/blog/entry/70018
力扣上的 DP 问题
分类汇总 https://zhuanlan.zhihu.com/p/126546914
https://leetcode.com/discuss/general-discussion/458695/dynamic-programming-patterns
https://github.com/CyC2018/CS-Notes/blob/master/notes/Leetcode%20%E9%A2%98%E8%A7%A3%20-%20%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92.md
https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/discuss/108870/Most-consistent-ways-of-dealing-with-the-series-of-stock-problems
https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/solution/yi-ge-tong-yong-fang-fa-tuan-mie-6-dao-gu-piao-w-5/
https://leetcode.cn/tag/dynamic-programming/
信息学奥赛一本通 第二部分 基础算法 --> 第九章 动态规划 http://ybt.ssoier.cn:8088/index.php
算法竞赛专题解析（11）：DP概述和常见DP面试题 https://blog.csdn.net/weixin_43914593/article/details/105444090
todo 题目推荐 https://www.luogu.com.cn/blog/wyy2020/dp-qian-tan
https://www.cnblogs.com/flashhu/p/9480669.html
其他资料：
https://github.com/hzwer/shareOI/tree/master/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92
https://oi-wiki.org/dp/
https://cp-algorithms.com/dynamic_programming/divide-and-conquer-dp.html
https://wenku.baidu.com/view/7c9de809581b6bd97f19ea72.html 算法合集之《从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化》
*/
func _(abs func(int) int) {
// 如果用（多维）数组记忆化
// 小技巧，可以在保存的时候把计算结果 +1（或者 +1e18），取出来的时候 -1（或者 -1e18）
// 这样原来的 *p != -1 可以改成 *p > 0，避免初始化 memo 数组时的多重循环
// 由于数据范围的原因，采用 map 记忆化 dpMap
// LC1553 https://leetcode.cn/problems/minimum-number-of-days-to-eat-n-oranges/
// LC2998 https://leetcode.cn/problems/minimum-number-of-operations-to-make-x-and-y-equal/
// LC638 https://leetcode.cn/problems/shopping-offers/
// https://codeforces.com/problemset/problem/510/D
// https://codeforces.com/problemset/problem/1746/D
// 如何估计时间复杂度 https://atcoder.jp/contests/abc275/tasks/abc275_d
mapDP := func(n int) (ans int) {
{
// 一维（多维见下）
memo := map[int]int{}
var f func(int) int
f = func(x int) (res int) {
//if x == 0 {
// return
//}
if v, ok := memo[x]; ok {
return v
}
defer func() { memo[x] = res }()
return
}
ans = f(n)
}
{
// 多维
type pair struct{ x, y int }
memo := map[pair]int{}
var f func(int, int) int
f = func(x, y int) (res int) {
//if x == n {
// return
//}
p := pair{x, y}
if v, ok := memo[p]; ok {
return v
}
defer func() { memo[p] = res }()
return
}
ans = f(0, 0)
}
return
}
// 最大子段和 / 最大子数组和
// 有三种思路
// 1. Kadane 算法：定义状态 f[i] 表示以 a[i] 结尾的最大子段和，则有状态转移方程 f[i]=max(f[i−1],0)+a[i]，答案为 max(f)
// 2. 前缀和：遍历 a 的同时维护前缀和的最小值，则遍历到 a[i] 时，当前最大子段和为 sum[i]-min(sum[j]), j<i
// - 我的题解：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/solution/qian-zhui-he-zuo-fa-ben-zhi-shi-mai-mai-abu71/
// 3. 分治：通常用于一些带修改的题目，需要用到线段树 https://www.luogu.com.cn/problem/P4513 https://codeforces.com/contest/1843/problem/F2
//
// LC53 https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/
// https://www.luogu.com.cn/problem/P1115
// LC2606 https://leetcode.cn/problems/find-the-substring-with-maximum-cost/
//
// 二维版本
// https://leetcode.cn/problems/max-submatrix-lcci/
// https://www.luogu.com.cn/problem/P1719
//
// 《算法导论》练习 4.1-5
// [题型总结] 关于最大子段和及其变式 https://www.luogu.com.cn/blog/wey-yzyl/zui-tai-zi-duan-hu-ji-ji-bian-shi-di-qi-shi
// 子段长度有上限的最大子段和：见单调队列，题目为 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1006/D
// 子段长度有下限的最大子段和：转换为前缀和之差 sum[i]-sum[j]，i-j>=K，维护 mn=min(mn,sum[j])，同时更新 sum[i]-mn 的最大值（另见 sort.go 中的 0-1 分数规划）
// - https://www.luogu.com.cn/problem/P1404
// 一道题考察上面两个限制 https://codeforces.com/problemset/problem/1796/D
// - O(n) 做法 https://codeforces.com/contest/1796/submission/263191415
// 子段和有上限的最大子段和：转换为前缀和之差 sum[i]-sum[j]<=K，在平衡树上二分 sum[j]
// - LC363 https://leetcode.cn/problems/max-sum-of-rectangle-no-larger-than-k/
// 最大两段子段和：求每个位置上的前缀最大子段和和后缀最大子段和 https://www.luogu.com.cn/problem/P2642
// - 等价题目：允许翻转一段子区间的最大子段和
// 最大三段子段和 LC689 https://leetcode.cn/problems/maximum-sum-of-3-non-overlapping-subarrays/ *长度固定为 k
// 删除至多一个元素后的最大子段和 LC1186 https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray-sum-with-one-deletion/
// - 也可以前后缀分解
// 最大 m 段子段和 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024
// 环状最大子段和：转换为 max(最大子段和, 总和减去最小子段和) LC918 https://leetcode.cn/problems/maximum-sum-circular-subarray/
// 环状最大两段子段和：思路类似，注意取反后需要传入 a[1:n-1] https://www.luogu.com.cn/problem/P1121 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7738/B
// 去掉一个最大值的最大子段和（值域比较小）https://codeforces.com/contest/1359/problem/D
// 变形题：
// LC2321 https://leetcode.cn/problems/maximum-score-of-spliced-array/
// LC1749 https://leetcode.cn/problems/maximum-absolute-sum-of-any-subarray/
// - 另一种做法是计算前缀和的最大值与最小值的差
// LC1191 重复 k 次 https://leetcode.cn/problems/k-concatenation-maximum-sum/
// https://codeforces.com/problemset/problem/1285/B 1300
// https://codeforces.com/problemset/problem/788/A 1600
// https://codeforces.com/problemset/problem/1373/D 1600
// https://codeforces.com/problemset/problem/2043/C 1600 介值定理
// https://codeforces.com/problemset/problem/33/C 1800
// https://codeforces.com/problemset/problem/1845/D 1800 本质是去掉一个最小的子段
// https://codeforces.com/problemset/problem/1155/D 1900
// https://codeforces.com/problemset/problem/1197/D 1900 思路 https://docs.qq.com/sheet/DWGFoRGVZRmxNaXFz 里面搜本题链接
// https://codeforces.com/problemset/problem/1082/E 2000 需要一些转换技巧
// https://atcoder.jp/contests/arc137/tasks/arc137_b
// https://codeforces.com/problemset/problem/75/D 2000 多个小数组合并
// - 这题做法需要用到上面说到的第二种思路
// https://codeforces.com/problemset/problem/1370/E 2100 转换
// https://codeforces.com/problemset/problem/1843/F2 2300 树上的情况
// 二维的情况（最大子阵和）可以枚举上下边界，转换成一维 O(n^3)
maxSubarraySum := func(a []int) int {
if len(a) == 0 { // 根据题意返回
return 0
}
maxS, sum := math.MinInt, 0
for _, v := range a {
sum = max(sum, 0) + v
maxS = max(maxS, sum)
}
if maxS < 0 { // 根据题意返回
//return 0
}
return maxS
}
// 除了返回最大子段和外，还返回最大子段和对应的子段 [l,r]
// https://codeforces.com/contest/1692/problem/H
maxSubarraySumWithRange := func(a []int) (maxS, l, r int) {
if len(a) == 0 { // 根据题意返回
return 0, -1, -1
}
maxS = a[0] // 注意 l 和 r 默认为 0，即 a[:1]
for i, sum, st := 1, a[0], 0; i < len(a); i++ {
if sum < 0 {
sum, st = 0, i // 重新开始
}
sum += a[i]
if sum > maxS {
maxS, l, r = sum, st, i
}
}
if maxS < 0 { // 根据题意返回
//return 0, -1, -1
}
return
}
// 维护前缀和的最小值的写法
// https://codeforces.com/contest/1692/problem/H
maxSubarraySumWithRange = func(a []int) (maxS, l, r int) {
if len(a) == 0 { // 根据题意返回
return 0, -1, -1
}
maxS = a[0] // 注意 l 和 r 默认为 0，即 a[:1]
sum, minS, minI := 0, 0, -1
for i, v := range a {
sum += v
if sum-minS > maxS {
maxS, l, r = sum-minS, minI+1, i
}
if sum < minS {
minS, minI = sum, i
}
}
if maxS < 0 { // 根据题意返回
//return 0, -1, -1
}
return
}
// 最大两段子段和（两段必须间隔至少 gap 个数）
maxTwoSubarraySum := func(a []int, gap int) int {
// 注意下界
n := len(a)
suf := make([]int, n)
suf[n-1] = a[n-1]
curSum := a[n-1]
for i := n - 2; i >= 0; i-- {
v := a[i]
curSum = max(curSum+v, v)
suf[i] = max(suf[i+1], curSum)
}
curSum, pre := a[0], a[0]
ans := pre + suf[1+gap]
for i := 1; i < n-1-gap; i++ {
v := a[i]
curSum = max(curSum+v, v)
pre = max(pre, curSum)
ans = max(ans, pre+suf[i+1+gap])
}
return ans
}
// 最大子序列交替和（买卖股票）
// 有两种思路：
// 1. 动态规划，具体见我的题解 https://leetcode.cn/problems/maximum-alternating-subsequence-sum/solution/dong-tai-gui-hua-by-endlesscheng-d92a/
// 2. 贪心，由于第一个值需要取正，将开头补上 0，就变成买卖股票问题了，只需关心波峰和波谷的值，即 ∑max(0,a[i+1]-a[i])
// LC1911 https://leetcode.cn/problems/maximum-alternating-subsequence-sum/
// 变形 LC1526 https://leetcode.cn/problems/minimum-number-of-increments-on-subarrays-to-form-a-target-array/
// LC122 https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/
// 扩展：O(1) 回答交换其中两个元素后的最大子序列交替和 https://codeforces.com/problemset/problem/1420/C2
maxAlternatingSumDP := func(a []int) int {
f := [2]int{0, -1e9}
for _, v := range a {
f = [2]int{max(f[0], f[1]-v), max(f[1], f[0]+v)}
}
return f[1]
}
maxAlternatingSumGreedy := func(a []int) (ans int) {
a = append([]int{0}, a...)
for i := 1; i < len(a); i++ {
ans += max(0, a[i]-a[i-1])
}
return
}
// 修改序列为非降或非增的最小修改次数，单次修改可以把某个数 +1 或 -1（L1 error）
// https://writings.sh/post/slope-trick-mono-sequence
//
// 注：如果是差值的平方（L2 error），那么是 isotonic regression / monotonic regression
// https://en.wikipedia.org/wiki/Isotonic_regression
// O(n) PAVA 算法 https://zhuanlan.zhihu.com/p/30747186
//
// 通过一个例子来解释这个基于堆的算法：1 5 10 4 2 2 2 2
// 假设当前维护的是非降序列，前三个数直接插入，不需要任何修改
// 插入 4 的时候，可以修改为 1 5 5 5，或 1 5 6 6，或... 1 5 10 10，修改次数均为 6
// 但我们也可以把修改后的序列视作 1 5 4 4，虽然序列不为非降序列，但修改的次数仍然为 6
// 接下来插入 2，基于 1 5 5 5 的话，修改后的序列就是 1 5 5 5 5，总的修改次数为 9
// 但我们也可以把修改后的序列视作 1 2 4 4 2，总的修改次数仍然为 9
// 接下来插入 2，如果基于 1 5 5 5 5 变成 1 5 5 5 5 5，会得到错误的修改次数 12
// 但是实际上有更优的修改 1 4 4 4 4 4，总的修改次数为 11
// 同上，把这个序列视作 1 2 2 4 2 2，总的修改次数仍然为 11
// ...
// LC2263 https://leetcode.cn/problems/make-array-non-decreasing-or-non-increasing/
// https://codeforces.com/problemset/problem/13/C 2200
// https://codeforces.com/problemset/problem/713/C 2300 严格单调递增 https://codeforces.com/blog/entry/47094?#comment-315161
// 这道题做了一个 a[i]-=i 的操作（i 从 1 开始），把严格单调递增变成了非降的情况，从而可以应用该算法
// 这一技巧的原理是，对于整数来说，单调递增的最小情况是 y=x+C，减去这一函数，就得到了非降序列的最小情况 y=C
// https://codeforces.com/problemset/problem/1787/H
// https://www.luogu.com.cn/problem/P4597
// https://www.luogu.com.cn/problem/P2893
// http://poj.org/problem?id=3666
slopeTrick := func(a []int) int {
h := hp{} // 大根堆
ans := 0
for _, v := range a {
h.push(v)
if d := h.IntSlice[0] - v; d > 0 {
ans += d
h.IntSlice[0] = v
heap.Fix(&h, 0)
}
}
return ans
}
// 返回一个矩阵 f，其中 f[i+1][j+1] 表示包含【左上角为 (0,0) 右下角为 (i,j) 的子矩形】中的所有 1 的最小矩形面积
// https://leetcode.cn/problems/find-the-minimum-area-to-cover-all-ones-ii/
// 类似题目【分三块】：
// https://www.luogu.com.cn/problem/P3625
// - https://atcoder.jp/contests/abc347/tasks/abc347_f
// https://atcoder.jp/contests/abc062/tasks/arc074_a
minimumArea := func(a [][]int) [][]int {
n, m := len(a), len(a[0])
// f[i+1][j+1] 表示包含【左上角为 (0,0) 右下角为 (i,j) 的子矩形】中的所有 1 的最小矩形面积
f := make([][]int, n+1)
for i := range f {
f[i] = make([]int, m+1)
}
type data struct{ top, left, right int }
border := make([]data, m)
for j := range border {
border[j].top = -1 // 无
}
for i, row := range a {
left, right := -1, 0
for j, x := range row {
if x > 0 {
if left < 0 {
left = j
}
right = j
}
preB := border[j]
if left < 0 { // 这一排目前全是 0
f[i+1][j+1] = f[i][j+1] // 等于上面的结果
} else if preB.top < 0 { // 这一排有 1，上面全是 0
f[i+1][j+1] = right - left + 1
border[j] = data{i, left, right}
} else { // 这一排有 1，上面也有 1
l, r := min(preB.left, left), max(preB.right, right)
f[i+1][j+1] = (r - l + 1) * (i - preB.top + 1)
border[j] = data{preB.top, l, r}
}
}
}
return f
}
// 最长公共子序列 (LCS)
// 视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1TM4y1o7ug/
// 更快的做法（位运算）见 SPOJ LCS0 https://www.luogu.com.cn/problem/SP12076
//
// 模板题 LC1143 https://leetcode.cn/problems/longest-common-subsequence/
// - 输出具体方案 https://atcoder.jp/contests/dp/tasks/dp_f
// 编辑距离 LC72 https://leetcode.cn/problems/edit-distance/
// - 热身 LC161 https://leetcode.cn/problems/one-edit-distance/
// - 输出具体方案 https://codeforces.com/problemset/problem/56/D 2100
// - 进阶：编辑距离 + 可以交换相邻字母 https://codeforces.com/problemset/problem/67/C 2600
// LC1092 最短公共超序列 (SCS) https://leetcode.cn/problems/shortest-common-supersequence/ 1977
// LC1713 https://leetcode.cn/problems/minimum-operations-to-make-a-subsequence/ 2351 若其中一个序列无重复元素，可以转换成 LIS
// - https://www.luogu.com.cn/problem/P1439
// https://codeforces.com/problemset/problem/163/A 1700 其中一个改为子串
// https://codeforces.com/problemset/problem/1446/B 1800
// https://codeforces.com/problemset/problem/463/D 1900 多个排列的 LCS
// - https://www.luogu.com.cn/problem/P2364 三个字符串的 LCS + 输出方案
// https://codeforces.com/problemset/problem/1114/D 1900 转换【巧妙】
// https://codeforces.com/problemset/problem/346/B 2000 与 KMP 结合
// - follow up: 要求某个子串 sub 一定在 LCS 中
// https://codeforces.com/problemset/problem/1701/E 2500 状态机 DP / 前后缀分解
// https://codeforces.com/problemset/problem/1584/F 2600 多串 + 每种字母至多出现两次
// - f[c][mask]，其中 mask 记录字母 c 在每个字符串中的出现位置，0 表示左边那个，1 表示右边那个
// https://codeforces.com/problemset/problem/1366/G 2700 结合括号匹配，挖掘性质
// https://codeforces.com/problemset/problem/1789/F 2700 分类讨论 多串
// https://atcoder.jp/contests/abc185/tasks/abc185_e 权值
// https://atcoder.jp/contests/abc130/tasks/abc130_e 相同子序列个数
// https://atcoder.jp/contests/abc391/tasks/abc391_g DDP / DP of DP
// - https://www.luogu.com.cn/problem/P10614
// - https://www.luogu.com.cn/problem/P4590
// 2020 多校第二场 https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6774
lcs := func(s, t []byte) int {
// f[i][j] = LCS(s[:i], t[:j])
n, m := len(s), len(t)
f := make([][]int, n+1)
for i := range f {
f[i] = make([]int, m+1)
}
for i, v := range s {
for j, w := range t {
if v == w {
f[i+1][j+1] = f[i][j] + 1
} else {
f[i+1][j+1] = max(f[i][j+1], f[i+1][j])
}
}
}
// 输出具体方案
lcs := make([]byte, 0, f[n][m])
for i, j := n-1, m-1; i >= 0 && j >= 0; {
if s[i] == t[j] {
lcs = append(lcs, s[i])
i--
j--
} else if f[i+1][j+1] == f[i][j+1] {
i--
} else {
j--
}
}
slices.Reverse(lcs)
return f[n][m] // string(lcs)
}
// LCS 个数
// https://www.luogu.com.cn/problem/P2516
lcsCount := func(s, t []byte) int {
const mod = 1_000_000_007
n, m := len(s), len(t)
lcs := make([][]int, n+1)
count := make([][]int, n+1)
for i := 0; i <= n; i++ {
lcs[i] = make([]int, m+1)
count[i] = make([]int, m+1)
}
for i := 0; i <= n; i++ {
count[i][0] = 1
}
for j := 0; j <= m; j++ {
count[0][j] = 1
}
for i := 1; i <= n; i++ {
for j := 1; j <= m; j++ {
if s[i-1] == t[j-1] {
lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1
count[i][j] = count[i-1][j-1] // 延续之前的子序列数
} else {
lcs[i][j] = max(lcs[i-1][j], lcs[i][j-1])
}
if lcs[i][j] == lcs[i-1][j] {
count[i][j] += count[i-1][j] // 加上不考虑 s2[j-1] 的子序列数
}
if lcs[i][j] == lcs[i][j-1] {
count[i][j] += count[i][j-1] // 加上不考虑 s1[i-1] 的子序列数
}
if s[i-1] != t[j-1] && lcs[i][j] == lcs[i-1][j-1] {
count[i][j] -= count[i-1][j-1] // 避免重复子序列的统计
}
count[i][j] %= mod
}
}
return (count[n][m] + mod) % mod
}
// 最长回文子序列 (LPS)
// 见下面的「区间 DP」
// 最长上升子序列 (LIS)
// 视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1ub411Q7sB/
// 这种写法适用于一些定义比较复杂的变形题
// O(n^2) - 定义 f[i] 为以 a[i] 为末尾的 LIS 的长度
// 可以把此问题想象成一个「跳跃游戏」，任选一个初始位置向右跳跃，每次只能跳到比当前位置更高的位置，问最多能跳多少次（最后答案加一）
// 这样能更容易地看出转移的顺序，然后变成一个 DAG 上求最长路的问题
// 转换 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1950
// 变体 https://codeforces.com/problemset/problem/1350/B 1400
// todo 转换 https://codeforces.com/problemset/problem/1562/E
//【网络流 24 题】能取出多少个长为 len(LIS) 的不相交子序列 https://loj.ac/p/6005 https://www.luogu.com.cn/problem/P2766
lisSlow := func(a []int) int {
n := len(a)
f := make([]int, n)
for i, v := range a {
f[i] = 1
for j, w := range a[:i] {
if w < v { // 改成 <= 为非降
f[i] = max(f[i], f[j]+1)
}
}
}
return slices.Max(f)
}
// 最长上升子序列 (LIS) 最长递增子序列
// 视频讲解：https://www.bilibili.com/video/BV1ub411Q7sB/
// 方法一：二分
// O(nlogn) - 定义 g[i] 为长度为 i+1 的上升子序列的末尾元素的最小值（技巧：交换 O(n^2) 定义中的状态与状态值）
// 求下降，可以考虑取相反数
// https://oi-wiki.org/dp/basic/#_12
// 最小划分数 / 狄尔沃斯定理（Dilworth's theorem）https://en.wikipedia.org/wiki/Dilworth%27s_theorem
// 偏序集的最少反链划分数等于最长链的长度
// 随机排列 LIS 的长度期望 https://www.zhihu.com/question/266958886
// On Range LIS Queries https://codeforces.com/blog/entry/111625 https://codeforces.com/blog/entry/111807 https://arxiv.org/pdf/0707.3619
// - 推广到树上路径
//
// 模板题 LC300 https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/
// LC1964 https://leetcode.cn/problems/find-the-longest-valid-obstacle-course-at-each-position/ 1933
// 建模 https://codeforces.com/problemset/problem/269/B 1700
// 经典转换（最多相交问题） https://codeforces.com/problemset/problem/67/D https://atcoder.jp/contests/arc126/tasks/arc126_b
// 最小划分数（导弹拦截）https://www.luogu.com.cn/problem/P1020
// - https://atcoder.jp/contests/abc134/tasks/abc134_e
// - LC3231 https://leetcode.cn/problems/minimum-number-of-increasing-subsequence-to-be-removed/
// 转化成最小划分数+打印划分方案 https://codeforces.com/problemset/problem/1296/E2
// 合唱队形 https://www.luogu.com.cn/problem/P1091
// LC1671 合唱队形（至少有升有降）https://leetcode.cn/problems/minimum-number-of-removals-to-make-mountain-array/ 1913
// 二维 LIS LC354 https://leetcode.cn/problems/russian-doll-envelopes/
// 二维 LIS + 打印方案 https://codeforces.com/problemset/problem/4/D 1700
// 重复数组的 LIS https://codeforces.com/problemset/problem/582/B 1900 非降
// - todo https://codeforces.com/problemset/problem/261/D 2600 严格递增
// - todo https://codeforces.com/contest/261/submission/31860735
// 若其中一个序列无重复元素，LCS 可以转换成 LIS https://www.luogu.com.cn/problem/P1439
// - LC1713 https://leetcode.cn/problems/minimum-operations-to-make-a-subsequence/ 2351
// 在一维 LIS 的基础上，a[i] 可以从多个数中选一个，问 LIS 最长可以多长
// - 思路：将各个 a[i] 的可选项从大到小排序，然后拼接成一个序列，求 LIS 即可（关键：从大到小排序避免了在同一个可选项中选择多个元素）
// 插入后最小化 LIS https://codeforces.com/problemset/problem/1893/B 1700
// 图上的路径的 LIS https://codeforces.com/problemset/problem/960/F 2100
// 将所有 a[i] 分成三类：不在任何 LIS 中 / 在至少一个 LIS 中 / 在所有 LIS 中 https://codeforces.com/problemset/problem/486/E 2200
// - 详细证明 https://www.luogu.com.cn/article/m4267u8v
// - （弱化版）在至少一个 LIS 中 https://atcoder.jp/contests/abc354/tasks/abc354_f
// - 删除元素+Dilworth https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3782/C
// - 修改一个数后的最大 LIS https://atcoder.jp/contests/abc360/tasks/abc360_g
// - 修改 2 个数呢？修改 k 个数呢？
// - 多个询问，单点修改后计算 LIS https://codeforces.com/problemset/problem/650/D 2600
// LaIS 与单调栈结合 https://codeforces.com/problemset/problem/1468/A 2200
// 状态设计 LIS 计数 https://atcoder.jp/contests/abc237/tasks/abc237_f
// 逆向题：输入 LIS 返回字典序最小的排列 a https://atcoder.jp/contests/arc125/tasks/arc125_c
// 反向构造：构造一个 LIS 个数是 x 的数组
// - 这里把 x 定义成非空 LIS 的个数。把 x 二进制拆分成 2^m1 + 2^m2 + 2^m3 + ...
// - 例如 13 = 2^3 + 2^2 + 2^0，我们可以构造 91,91,92,92,93,93,81,82,82,83,83,71,72,73，
// - 看成三段，每一段的贡献就是前面拆分出的二进制数（这里只是举了个例子，每一段的 gap 可以调大一些以满足构造要求）
// bitset 优化 https://codeforces.com/contest/1826/problem/E
// 思想 https://codeforces.com/problemset/problem/1582/F1
// https://codeforces.com/problemset/problem/249/D 2700
// https://atcoder.jp/contests/arc159/tasks/arc159_d 区间 LIS（思路类似珂朵莉树）
// https://atcoder.jp/contests/arc149/tasks/arc149_b
// https://atcoder.jp/contests/abc393/tasks/abc393_f
lis := func(a []int) int {
f := []int{}
for _, v := range a {
j := sort.SearchInts(f, v) // 改成 v+1 为非严格递增
if j < len(f) {
f[j] = v
} else {
f = append(f, v)
}
}
return len(f)
}
// 方法二：线段树优化 DP
// 在值域上建一棵线段树，单点维护的是 a[i] 对应的 dp 值，区间维护的就是一段值域的 dp 的最大值
// 转移时，查询 < a[i] 的最大值，单点更新到线段树的 a[i] 上
// 这种做法也可以做到 O(nlogn)，且更加灵活
// https://www.acwing.com/problem/content/description/3665/
// LC2407 https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence-ii/
// 方法三：平衡树
// 参考 https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence-ii/solution/jianjie-by-xing-chen-26-ydqp/
// 方法四：分治 + 单调队列
// 参考 https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence-ii/solution/fen-zhi-by-heltion-h31y/
// 每个前缀的 LIS
// LC1964 https://leetcode.cn/problems/find-the-longest-valid-obstacle-course-at-each-position/ 1933
lisAll := func(a []int) []int {
n := len(a)
lis := make([]int, n)
g := []int{}
for i, v := range a {
p := sort.SearchInts(g, v) // 改成 v+1 为非严格递增
if p < len(g) {
g[p] = v
} else {
g = append(g, v)
}
lis[i] = p + 1
}
return lis
}
// 修改 a 中至多 k 个数后的 LIS 长度
// k=1 https://atcoder.jp/contests/abc360/tasks/abc360_g
lisModify := func(a []int, k int) int {
f := make([][]int, k+1)
for i := range f {
f[i] = []int{math.MinInt} // 哨兵
}
for _, v := range a {
for i := k; i >= 0; i-- {
j := sort.SearchInts(f[i], v)
if j < len(f[i]) {
f[i][j] = v
} else {
f[i] = append(f[i], v)
}
if i > 0 {
// 注意这里没有二分，完全取决于 len(g)
g := f[i-1]
j = len(g)
w := g[len(g)-1] + 1
if j < len(f[i]) {
f[i][j] = min(f[i][j], w)
} else {
f[i] = append(f[i], w)
}
}
}
}
ans := 0
for _, g := range f {
ans = max(ans, len(g)-1) // 减去哨兵
}
return ans
}
// 撤销 LIS
// https://www.lanqiao.cn/problems/2088/learning/ https://www.luogu.com.cn/problem/P8776
lisRollback := func(a []int) {
pre := []int{}
type pair struct{ i, v int }
rollback := make([]pair, len(a))
for i, v := range a {
j := sort.SearchInts(pre, v)
if j < len(pre) {
rollback[i] = pair{j, pre[j]}
pre[j] = v
} else {
rollback[i] = pair{j, -1} // 注意题目是否有负数
pre = append(pre, v)
}
}
for i := len(a) - 1; i >= 0; i-- {
p := rollback[i]
if p.v < 0 {
pre = pre[:len(pre)-1]
} else {
pre[p.i] = p.v
}
// ...
}
}
// LIS 方案数 O(nlogn)
// 原理见下面这题官方题解的方法二
// LC673 https://leetcode.cn/problems/number-of-longest-increasing-subsequence/
// https://www.luogu.com.cn/problem/P1108
cntLis := func(a []int) int {
g := [][]int{} // 保留所有历史信息
cnt := [][]int{} // 个数前缀和
for _, v := range a {
p := sort.Search(len(g), func(i int) bool { return g[i][len(g[i])-1] >= v })
c := 1
if p > 0 {
// 根据 g[p-1] 来计算 cnt
i := sort.Search(len(g[p-1]), func(i int) bool { return g[p-1][i] < v })
c = cnt[p-1][len(cnt[p-1])-1] - cnt[p-1][i]
}
if p == len(g) {
g = append(g, []int{v})
cnt = append(cnt, []int{0, c})
} else {
g[p] = append(g[p], v)
cnt[p] = append(cnt[p], cnt[p][len(cnt[p])-1]+c)
}
}
c := cnt[len(cnt)-1]
return c[len(c)-1]
}
// LIS 相关构造题
// https://codeforces.com/problemset/problem/1304/D
// https://atcoder.jp/contests/arc091/tasks/arc091_c
// 最大上升子序列和
// 按值从小到大排序，值相同的下标从大到小排序
// 然后用树状数组或线段树：单点更新，维护前缀最大值
// https://www.acwing.com/problem/content/3665/